Trokut

Izvor: Wikipedia

Trokut ili trougao je zatvoren geometrijski lik koji ima tri kuta i tri stranice. Zbir unutrasnjih uglova (kutova) u trouglu (trokutu) iznosi 180 stepeni.

Tri nekolinearne tačke čine trougaonu liniju.

Definicija 1

Trougao je određen tačkama A , B, C, je presjek poluravni AB.C, AC.B; i BC.A. tačke A, B, C su vrhovi trougla, a Duži AB, BC i AC njegove stranice .Označavamo ga sa ∆ABC; ∆BCA; ∆CAB; itd

Definicija 2

Ugao trougla u datom vrhu je je konveksan ugao, a kraci mu prolaze kroz susjedne vrhove.

Definicija 3

Ugao koji je naporedni ugao trougla u jednom vrhu nazivamo vanjski ugao trougla u tom vrhu.

Presjek dva ili više konveksnih skupova je konveksni skup . kako je trougao presjek tri poluravni, koje su konveksni skupovi, to je i trougao konveksan skup. Tačke ove ovog skupa su unutrašnje tačke trougla.Vanjska oblast trougla isto kao i kod ugla nije konvekan skup.

Orjentacija trougla[uredi - уреди]

Vrhove trougla nožemo uzeti u bilo kom poretku ABC, BCA,CAB;... U nekim sličajevima moramo uzeti u određen poredak. Ako vrhove trougla posmatramo kao uređene trojke kažemo da je trougao orjentisan. Može biti orjentisan na dva načinatj kao ABC ili kao ACB.

Aksiom 1

Ako su tačke A, B, C nekolinearne onda je AB + BC > AC; BC + AC > AB i AC + AB > BC tj. zbir svake dvije duži veći je od treće duži.

Teorema 2

Da bi tri tačke bile kolinearne potrebno je i dovoljno da bude AB + BC = AC, BC + AC = BC, ili AC + BC = AB

Teorema 3

Za tri tačke prostor X, Y , Z važi XY + YZ = XZ ili XY + YZ >XZ

Klasifikacija trouglova[uredi - уреди]

Prema uglovima trouglove dijelimo na:

  • Oštrougle – imaju sve uglove oštre
  • Pravougle- imaju jedan ugao pravi tj 90o
  • Tupougle – imaju jedan ugao tupi ( veći od 90o)

Druga podjela

  • Pravougli- imaju uvijek jedan ugao prav
  • Kosougli – ni jedan ugao nije prav

prema stranicama dijelimo ih na

  • raznostranične- različitih dužina
  • jednakokrake – imaju dvije stranice jednake
  • istostranične – sve tri stranice jednake

Pravougli trougao[uredi - уреди]

Pravougli trougao ima jedan ugao od 90o. Stranice ovog trougla koje čine pravi ugao nazivaju se katete, a treća stranica ,koja je i najduža u trouglu je hipotenuza. Katete označavamo sa a,b ; a hipotenuzu sa c.

Pitagorina teorema

Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.

a2 + b2 = c2

Euklidova teorema

Kvadrat nad katetom razloživo je jednak pravougaoniku nad hipotenuzom čije su stranice jednake hipotenuzi i projekciji katete nad hipotenuzom

Podudarnost trouglova[uredi - уреди]

Za dva trougla su podudarna ako postoji izometrija koja preslikava prvi trougao u drugi

  1. Pravilo( SSS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako su stranice jednog trougla jednake stranicama drugog .(
  2. Pravilo( SUS)Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dvije stranice jednog trougla i ugao kojeg one čine jednake odgovarajučim stranicama i uglu drugog trougla.
  3. Pravilo (USU)Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba ugla nalegla na tu stranicu.
  4. Pravilo (SSU)Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake dvije odgovarajuće stranice i ugao naspram veće od njih.

Osnovni konstruktivni zadaci[uredi - уреди]

  1. Konstruisati trougao ako su zadane sve tri stranice.
  2. Konstruisati trougao ako su zadane dvije stranice i ugao kojeg one čine.
  3. konstruisati trougao ako su zadana stranica i uglovi nalegli na tu stranicu
  4. Konstruisati trougao ako su zadane dvije stranice iugao naspram veće od njih.

Određenost trougla[uredi - уреди]

Trougao je određen ako je:

  1. date dvije stranice i ugao između njih
  2. stranica i nalegli uglovi na nju
  3. sve tri stranice.

Trougao nije određen sa sva tri ugla.

Pravougli trougao određen je sa:

  1. Dvije katete
  2. Katetom i uglom naleglim na nju različitim od pravog ugla.
  3. Hipotenuzom, uglom uz hipotenuzu i katetom.
  4. Katetom i uglom naspram te katete.

Nejednačina trougla[uredi - уреди]

Ako stranice trougla AB, BC, CA označimo sa a, b, c ionda imamo a + b >c ; a + c > b i b + c > a.

Teorema 4

Svaka stranica trougla veća je od razlike a manja od zbira druge dvije stranice,

│a - b│< c < a + b.


Značajne tačke trougla[uredi - уреди]

Definicija 4

Za kružnicu koja prolazi kroz sve uglove. trougla kažemo da je opisana oko trougla, a za trougao da je upisan u tu kružnicu.

Teorema 5

Simetrale sve tri stranice trougla sijeku se u jednoj tački koja je centar opisane kružnice.

Teorema 6

  1. Simetrala osnovice istostraničnog trougla prolazi kroz vrh trougla, ona je i simetrala ugla pri vrhu tog trougla.
  2. Prava koja prolazi kroz vrh istostraničnog trougla i ima jednu od osobina.
    1. Normalna je na osnovicu
    2. polovi osnovicu

simetrala ugla u tom vrhu, i poklapa se sa simetralom trougla.

Svaki ugao ima tačno jednu simetralu. Poluoprava l ugla koja sa kracima datog ugla čini jednake uglove naziva se simetrala (bisektrisa) ugla.

Odsječak simetrale jednog ugla trougla je odsječak te simetrale od vrha ugla do presjeka simetrale sa stranicom nasuprot tom vrhu.

Za kružnicu koja dodiruje stranice trougla kažemo da je upisana , a za trougao da je tangentni.

Teorema 8

Simetrale sva tri ugla sijeku se u jednoj tački koja je centar upisane kružnice.

Za proizvoljne dvije stranice trougla i naspramne uglove važi: a < b ili a ≥ b odnosno α < β ili α ≥ β.

Teorema 9

Za dvije duži AC i BC sa zajednićkim početkom u C i njihove projekcije AM i BM na pravu AB na kojoj leže druga dva kraja duži važi:

  • Jednakim dužima odgovaraju jednake projekcije

AC = BC < = > MA = MB

  • Manjoj duži odgovara manja projekcija i obrnuto

AC < BC < = > AM < MB

AC > BC < = > AM > MB

Uglovi na osnovici istostraničnog trougla su oštri.

Teorema 10

Ako je jedan ugao trougla pravi ili tupi onda su druga dva oštra.

Za dva trougla koji imaju jednake stranice važi Nasuprot većeg ugla između tih stanica leži veći ugao Nasuprot veće treće stranice leži veći ugao Zbir uglova u trouglu je 180o Vanjski ugao trougla jednak je zbiru druga dva ugla.

Teorema 11

Sve tri prave na kojima leže visine trougla sijeku se u jednoj tački –ortocentar.

Teorema 12

Prava koja prolazi kroz sredinu jedne stranice i paralelna je drugoj stranici prolazi kroz sredinu treće stranice. Duž koja spaja sredine dviju stranica trougla paralelna je trećoj i jednaka njenoj polovini. Ovo je srednja duž trougla.

Teorema 13

Sve tri težišnice prolaze kroz jednu tačku – težište. Težište dijeli težišnicu u razmjeri 2 : 1.

Težišnica je prava koja prolazi kroz vrh trougla i sredinu naspramne stranice.